Складені індекси

Тензорна нотація в теорії відносності та диференціальній геометрії відрізняє верхні індекси від нижніх, і горизонтальний порядок індексів також має значення: коли індекси піднімаються та опускаються за допомогою метрики, об’єкт із верхнім індексом першим не збігається з об’єктом із нижнім індексом першим. Розташування сценарію за замовчуванням у LaTeX ігнорує цю різницю, тому документи з великою кількістю тензорів покладаються на маленький трюк із порожніми групами.

T^{i}{}_{j}{}^{k}
R^{\mu}{}_{\nu\rho\sigma}
g_{\mu\nu}

Порожній груповий трюк

Написання T^i_j розміщує верхній і нижній індекси в одному горизонтальному слоті, розташованому один над одним. Щоб розташувати їх у шаховому порядку, вставте {}, порожню групу: T^{i}{}_{j} додає i як верхній індекс до T, а потім приєднує j як нижній індекс до порожньої групи, яка йде далі, таким чином індекс розташовується після верхнього індексу, а не під ним. Кожен {} відкриває свіжий слот сценарію, і ви можете ланцюгувати стільки, скільки потрібно тензору, як у T^{i}{}_{j}{}^{k}.

Другий рядок показує виграш на реальному об’єкті. У R^{\mu}{}_{\nu\rho\sigma} mu займає першу позицію індексу, а три нижніх індекси слідують за ним. Це стандартна схема для тензора Рімана. Згорніть шаховий порядок, і порядок індексів стане неоднозначним. Коли кожен індекс знаходиться на одному рівні, як у метриці g_{\mu\nu}, ніяких хитрощів не потрібно, і одна група індексів містить їх усі.

Той самий {} також вирішує звичайну помилку. T^i^k зупиняє компіляцію за допомогою “Подвійного верхнього індексу”, оскільки один атом не може приймати два верхніх індекси. T^{i}{}^{k} надає другому верхньому індексу власний слот і компілюється чисто.

Умовності та послідовність

Розташування індексів у шаховому або стопковому порядку залежить від поля. Загальна теорія відносності вражає майже повсюдно. Інші області підходять для складених індексів, коли жоден показник не переміщує індекси. Дотримуйтеся звичок вашої галузі, і якщо ви кудись подаєте, відповідайте шаблону журналу на свій смак. Пакет tensor може автоматизувати розміщення за допомогою команди \tensor, але порожні групи, створені вручну, переносяться, не потребують пакетів і виживають у будь-якій системі подання без змін.

Послідовність важливіша, ніж сам вибір. Вирішіть один раз, як розташовані індекси кожного тензора. Для тих, які ви постійно друкуєте, додайте макрос преамбули навколо них, щоб пізня зміна конвенції була одним редагуванням, а не переглядом усього документа. Порівняйте форми, розташовані в шаховому порядку, і складені поруч на живому майданчику.