Сложенные индексы

Тензорная запись в теории относительности и дифференциальной геометрии отличает верхние индексы от нижних, а горизонтальный порядок индексов также имеет значение: как только индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики, объект с первым верхним индексом не совпадает с объектом с первым нижним индексом. Размещение сценариев LaTeX по умолчанию игнорирует это различие, поэтому тензорные документы полагаются на небольшой трюк с пустыми группами.

T^{i}{}_{j}{}^{k}
R^{\mu}{}_{\nu\rho\sigma}
g_{\mu\nu}

Трюк с пустой группой

При написании T^i_j верхний и нижний индекс помещаются в один и тот же горизонтальный слот, расположенные один над другим. Чтобы расположить их в шахматном порядке, вставьте {}, пустую группу: T^{i}{}_{j} присоединяет i в качестве верхнего индекса к T, затем присоединяет j в качестве нижнего индекса к следующей пустой группе, так что нижний индекс располагается после верхнего индекса, а не под ним. Каждый {} открывает новый слот скрипта, и вы можете объединить столько, сколько нужно тензору, как в T^{i}{}_{j}{}^{k}.

Вторая строка показывает выигрыш по реальному объекту. В R^{\mu}{}_{\nu\rho\sigma} mu занимает первую позицию индекса, а за ней следуют три нижних индекса. Это стандартная схема тензора Римана. Сверните шахматное расположение, и порядок индекса станет неоднозначным. Когда каждый индекс находится на одном уровне, как в метрике g_{\mu\nu}, никаких хитростей не требуется, и их все содержит одна группа индексов.

Тот же {} также решает простую ошибку. T^i^k останавливает компиляцию с помощью “Двойного верхнего индекса”, поскольку один атом не может принимать два верхних индекса. T^{i}{}^{k} выделяет второму верхнему индексу собственный слот и компилируется без ошибок.

Условности и последовательность

Расположение индексов в шахматном порядке или в стопке определяется соглашением поля. Общая теория относительности почти повсеместно шатается. Другие области подходят для составных индексов, когда ни одна метрика не перемещает индексы. Сопоставьте привычки своей области, и если вы куда-то отправляете заявку, сопоставьте шаблон журнала по своему вкусу. Пакет tensor может автоматизировать размещение с помощью команды \tensor, но пустые группы, созданные вручную, переносимы, не требуют пакета и выдерживают любую систему отправки без изменений.

Последовательность имеет большее значение, чем сам выбор. Решите один раз, как расположены индексы каждого тензора. Для тех, которые вы печатаете постоянно, поместите макрос преамбулы вокруг них, чтобы позднее изменение соглашения было одним редактированием, а не поиском по всему документу. Сравните расположенные в шахматном порядке и сложенные друг о друга формы на живой игровой площадке.