積み上げインデックス

相対性理論と微分幾何学におけるテンソル表記は、上位のインデックスと下位のインデックスを区別します。また、インデックスの水平方向の順序にも意味があります。メトリックを使用してインデックスを上げたり下げたりすると、最初に上位のインデックスを持つオブジェクトは、最初に低いインデックスを持つオブジェクトと同じではなくなります。 LaTeX のデフォルトのスクリプト配置ではその区別が無視されるため、テンソルを多用するドキュメントは空のグループを使用した小さなトリックに依存します。

T^{i}{}_{j}{}^{k}
R^{\mu}{}_{\nu\rho\sigma}
g_{\mu\nu}

空のグループのトリック

T^i_j と書くと、上付き文字と下付き文字が同じ水平スロットに上下に積み重ねられて配置されます。それらをずらすには、空のグループである {} を挿入します。 T^{i}{}_{j} は、上付き文字として i を T に付加し、その後に続く空のグループに下付き文字として j を付加します。これにより、下付き文字は上付き文字の下ではなく後に配置されます。各 {} は新しいスクリプト スロットを開き、T^{i}{}_{j}{}^{k} のように、テンソルが必要なだけチェーンできます。

2 行目は、実際のオブジェクトに対する利益を示しています。 R^{\mu}{}_{\nu\rho\sigma} では、mu が最初のインデックス位置を占め、その後に 3 つの下位インデックスが続きます。これがリーマン テンソルの標準的なレイアウトです。スタッガーを折りたたむと、インデックスの順序があいまいになります。メトリクス g_{\mu\nu} のように、すべてのインデックスが 1 つのレベルにある場合、特別なトリックは必要なく、単一の添え字グループがそれらすべてを保持します。

同じ {} は単純なエラーも解決します。 T^i^k は、1 つのアトムが 2 つの上付き文字を取ることができないため、「二重上付き文字」でコンパイルを停止します。 T^{i}{}^{k} は 2 番目の上付き文字に独自のスロットを与え、きれいにコンパイルします。

慣例と一貫性

インデックスをずらして配置するか積み上げて配置するかは、現場の慣例です。一般相対性理論はほぼ例外なく不安定になります。他の領域では、インデックスを移動させるメトリックがない場合は、積み上げインデックスを使用できます。自分の分野の習慣に合わせてください。また、どこかに投稿する場合は、自分の好みよりもジャーナルのテンプレートに合わせてください。 tensor パッケージは \tensor コマンドを使用して配置を自動化できますが、手動の空のグループは移植性があり、パッケージを必要とせず、どの提出システムでも変更されずに存続します。

選択そのものよりも一貫性が重要です。各テンソルのインデックスをどのように配置するかを一度決定します。常に入力するものについては、前後にプリアンブル マクロを配置して、後から規約を変更しても、文書全体を調べるのではなく 1 回の編集で済むようにします。 ライブ プレイグラウンド で、互い違いのフォームと積み重ねたフォームを並べて比較します。