Skumulowane indeksy

Notacja tensorowa w teorii względności i geometrii różniczkowej odróżnia indeksy górne od dolnych, a pozioma kolejność indeksów również ma znaczenie: gdy indeksy są podnoszone i obniżane za pomocą metryki, obiekt z górnym indeksem nie jest tym samym, co ten z dolnym indeksem. Domyślne rozmieszczenie skryptów LaTeX-a ignoruje to rozróżnienie, więc dokumenty zawierające dużo tensorów opierają się na małej sztuczce z pustymi grupami.

T^{i}{}_{j}{}^{k}
R^{\mu}{}_{\nu\rho\sigma}
g_{\mu\nu}

Sztuczka z pustą grupą

Zapisanie T^i_j umieszcza indeks górny i dolny w tej samej poziomej szczelinie, ułożone jeden nad drugim. Aby je nałożyć na siebie, wstaw {}, pustą grupę: T^{i}{}_{j} dołącza i jako indeks górny do T, a następnie dołącza j jako indeks dolny do pustej grupy, która następuje, więc indeks dolny ląduje po indeksie górnym, a nie pod nim. Każde {} otwiera nowe miejsce na skrypt i możesz połączyć tyle, ile potrzebuje tensor, tak jak w T^{i}{}_{j}{}^{k}.

Druga linia pokazuje wypłatę na prawdziwym obiekcie. W R^{\mu}{}_{\nu\rho\sigma} mu zajmuje pierwszą pozycję indeksu, a za nią podążają trzy dolne indeksy. To jest standardowy układ tensora Riemanna. Zwiń układ schodkowy, a kolejność indeksów stanie się niejednoznaczna. Kiedy każdy indeks znajduje się na jednym poziomie, jak w metryce g_{\mu\nu}, nie jest potrzebna żadna sztuczka i pojedyncza grupa indeksów dolnych zawiera je wszystkie.

To samo {} rozwiązuje również zwykły błąd. T^i^k zatrzymuje kompilację z “Double superscript”, ponieważ jeden atom nie może przyjąć dwóch indeksów górnych. T^{i}{}^{k} daje drugiemu indeksowi górnemu własne miejsce i kompiluje się czysto.

Konwencje i spójność

To, czy indeksy są naprzemienne, czy skumulowane, jest konwencją pola. Ogólna teoria względności zaskakuje niemal powszechnie. Inne obszary są w porządku w przypadku indeksów skumulowanych, gdy żadna metryka nie zmienia indeksów. Dopasuj zwyczaje swojej branży, a jeśli już gdzieś zgłaszasz, dopasuj szablon czasopisma do własnego gustu. Pakiet tensor może zautomatyzować rozmieszczanie za pomocą polecenia \tensor, ale ręcznie puste grupy są przenośne, nie wymagają pakietu i przetrwają każdy system przesyłania w niezmienionej formie.

Konsekwencja jest ważniejsza niż sam wybór. Zdecyduj raz, jak rozmieszczone są indeksy każdego tensora. W przypadku tych, które piszesz ciągle, umieść wokół nich makro preambuły, aby późna zmiana konwencji była jedną edycją, a nie przeszukiwaniem całego dokumentu. Porównaj formularze ułożone i ułożone obok siebie na żywym placu zabaw.